Matrices 评分标准规律

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题型 1：特征值与特征向量（2–5 分）

步骤	分值	评分标准
写出 $\det(A - \lambda I) = 0$	M1	方法分：正确设出行列式
展开行列式	M1	方法分：正确展开（注意符号）
解特征多项式	A1	答案分：特征值正确
对每个特征值列出齐次方程组	M1	方法分：代入 $\lambda$
解出特征向量	A1	答案分：特征向量正确（非零）

典型扣分点：

• 展开行列式符号错误 → 后续全错，仅得展开前的 M1
• 特征向量未写为列向量形式 → 扣 A1

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题型 2：Cayley-Hamilton 定理（3–6 分）

步骤	分值	评分标准
写出特征方程	M1	方法分
代入 $A$ 得矩阵方程	A1	答案分：方程正确
求 $A^{-1}$：整理表达式	M1	方法分：正确移项
最终 $A^{-1}$ 正确	A1	答案分
求 $(A^{-1})^2$ 或其他变形	M1 + A1	额外步骤分

典型模式：

• s20/21 Q8(b)：特征方程 + $A^{-1}$ → M1, A1, M1, A1
• s21/23 Q7：特征方程 + 高次幂 → M1 A1, M1 A1
• s25/21 Q8(d)：化简 $(A-2I)^3$ → M1, M1, A1

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题型 3：对角化 / $A^n = PDP^{-1}$（5–7 分）

步骤	分值	评分标准
求出一个特征值	B1	已知或简单计算得出
求出全部特征值	B1	所有特征值正确
求特征向量（方法）	M1	方法分
特征向量（答案）	A1	所有特征向量正确
构造 $P$ 和 $D$	A1	$P$ 和 $D$ 正确
指出 $A^n = PD^nP^{-1}$ 或写出 $D^n$	B1	理解关系
计算 $P^{-1}$	M1	方法分
$P^{-1}$ 正确	A1	答案分

典型模式：

• s20/21 Q8(c)：$A^5 = PDP^{-1}$，仅要求 $P$ 和 $D$（不含 $P^{-1}$）→ 7 分
• s24/21 Q9：$(14A+24I)^2 = PDP^{-1}$ → 7 分

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常见评分规则

1. 错误累加：前一步错导致后一步错，后一步不得分（除非问题独立）
2. 方法分（M1）：即使计算错误，正确的方法仍给方法分
3. 答案分（A1）：必须在方法正确的前提下给出正确答案
4. 独立部分：对角化中的 $P$ 和 $D$ 通常各为 A1，互不影响
5. 验证要求：有时要求验证 $A = PDP^{-1}$，验证步骤为 M1

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近年分值分布

年份	题号	分值	题型
s20/21	Q8	3+4+7	综合（无唯一解 + Cayley + 对角化）
s20/23	Q3	2+4	特征值 + Cayley
s21/21	Q6	1+4	特征值 + 高次幂
s21/23	Q7	8+2	特征方程 + 表达式
w20/22	Q9	3+2+5+6	综合题
s24/21	Q9	7	对角化
s25/21	Q8	3	化简多项式