Matrices 考前速览

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核心公式

公式	说明
$\det(A - \lambda I) = 0$	特征方程
$(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$	特征向量定义
$A^2 - \operatorname{tr}(A)A + \det(A)I = 0$	$2 \times 2$ 特征方程特例
$A^n + a_{n-1}A^{n-1} + \cdots + a_0 I = 0$	Cayley-Hamilton
$A = PDP^{-1}$	对角化
$A^n = PD^nP^{-1}$	高次幂
$D^n = \operatorname{diag}(\lambda_1^n, \lambda_2^n, \dots)$	对角矩阵幂

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解题流程图

求特征值 → 求特征向量 → Cayley-Hamilton / 对角化
        ↘            ↘
      $A^{-1}$    $A^n = PD^nP^{-1}$
     化简多项式

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常见套路

求 $A^{-1}$ 的两种方法

1. Cayley-Hamilton：写出特征方程 → 代入 $A$ → 移项
2. 对角化：$A^{-1} = PD^{-1}P^{-1}$

化简 $(A - kI)^n$

展开后利用 Cayley-Hamilton 消去高次项。

处理 $f(A)$ 的对角化

若 $A = PDP^{-1}$，则 $f(A) = Pf(D)P^{-1}$，其中 $f(D) = \operatorname{diag}(f(\lambda_1), f(\lambda_2), \dots)$。

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检查清单

• 特征值计算是否检查了 $\det(A - \lambda I) = 0$？
• 特征向量是否非零？
• Cayley-Hamilton 中常数项是否加了 $I$？
• 对角化中 $P$ 和 $D$ 的顺序是否匹配？
• $P^{-1}$ 的公式是否正确（除以 $\det P$）？
• $A^n$ 中的 $n$ 是幂次，$D$ 的对角元也需取 $n$ 次幂？
• $3 \times 3$ 行列式展开符号是否用对（$+ - +$）？

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必须记住

Cayley-Hamilton: $A$ 满足特征方程，常数变 $I$。

对角化: 特征向量排成 $P$，特征值排成 $D$，顺序要一致。

高次幂: $A^n = PD^nP^{-1}$，$D$ 的对角元取 $n$ 次方。