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Maclaurin Series — Common Mistakes

Mistake 1: 忘记除以阶乘​

错误： f(x)≈f(0)+f′(0)x+f′′(0)x2+f′′′(0)x3f(x) \approx f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 + f'''(0)x^3

正确： f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+⋯f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots

注意

这是一个非常容易犯的错误。记住：xnx^n 项的系数必须除以 n!n!。

Mistake 2: 复合函数展开时遗漏项​

错误：展开 e−x2e^{-x^2} 时只写到 1−x21 - x^2 就停止了。

正确：e−x2=1−x2+x42−x66+⋯e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + \cdots（需包含足够项）

Mistake 3: 符号错误​

sin⁡x\sin x 交错符号​

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

cos⁡x\cos x 交错符号​

cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

ln⁡(1+x)\ln(1+x) 交错符号​

ln⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots

Mistake 4: ln⁡\ln 展开定义域混淆​

\ln(1+x) \text{ 展开有效当 } |x| < 1

但题目通常要求展开式而非考虑收敛域。注意 ln⁡(1+ex)\ln(1+e^x) 展开时先处理 1+ex1+e^x 再取 ln⁡\ln。

Mistake 5: 对 axa^x 求导错误​

错误：认为 ddxax=xax−1\frac{d}{dx}a^x = xa^{x-1}

正确：ddxax=axln⁡a\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a（通过 ax=exln⁡aa^x = e^{x\ln a}）

Mistake 6: 积分近似时忽略截断误差​

用级数近似积分时，截断项的选择要确保精度。如求近似值时，注意题目要求的精度（通常 3 s.f. 或 4 s.f.）。

Mistake 7: 乘法展开丢项​

将两个级数相乘时，容易遗漏交叉项。

示例：(1+x+x22)(x−x36)(1 + x + \frac{x^2}{2})(x - \frac{x^3}{6}) 展开到 x3x^3 项：

  • 1⋅x=x1 \cdot x = x
  • 1⋅(−x36)=−x361 \cdot (-\frac{x^3}{6}) = -\frac{x^3}{6}
  • x⋅x=x2x \cdot x = x^2
  • x22⋅x=x32\frac{x^2}{2} \cdot x = \frac{x^3}{2}

结果：x+x2+x33x + x^2 + \frac{x^3}{3}

注意 x⋅(−x36)x \cdot (-\frac{x^3}{6}) 是 x4x^4 项，xx 到 x3x^3 可忽略。