Integration Techniques — Solution Methods

Method 1: Reduction Formulae

核心思想：建立 $I_n$ 与 $I_{n-k}$ 之间的递推关系，通过降次逐步计算。

步骤框架

1. 定义 $I_n = \int_a^b f(x,n)\,dx$
2. 改写被积函数，拆分出与递推相关的因子
3. 分部积分，设 $u$ 为含幂次的函数，$dv$ 为可积函数
4. 建立关系：得到形如 $I_n = A(n) \cdot I_{n-k} + g(x)$ 的等式
5. 边界条件：计算 $I_0$ 或 $I_1$
6. 迭代计算：递推至目标 $n$

常用模式

类型	拆分策略	$u$ 选择	$dv$ 选择
$\int \sin^n x\,dx$	$\sin^{n-1}x \cdot \sin x$	$\sin^{n-1}x$	$\sin x\,dx$
$\int \cos^n x\,dx$	$\cos^{n-1}x \cdot \cos x$	$\cos^{n-1}x$	$\cos x\,dx$
$\int (1-x^2)^{n/2}\,dx$	$(1-x^2)\cdot(1-x^2)^{(n-2)/2}$	拆分后分部	$x\cdot(1-x^2)^{(n-2)/2}$
$\int x^n e^x\,dx$	直接分部	$x^n$	$e^x\,dx$
$\int x^n \ln x\,dx$	直接分部	$\ln x$	$x^n\,dx$

分部积分技巧

递推公式中 $u$ 通常选含 $n$ 的函数，$dv$ 选易积分的部分。

注意在得到 $I_n$ 与 $I_{n-2}$（或其他下标）的关系后，检查系数是否正确。

Method 2: Integration by Parts

公式：

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

LIATE 法则 — 选择 $u$ 的优先级

优先级	函数类型	例子
1 (最高)	Log	$\ln x$
2	Inverse trig	$\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$
3	Algebraic	$x^n$
4	Trig	$\sin x$, $\cos x$
5 (最低)	Exponential	$e^x$

多次分部技巧

当 $u$ 的导数多次分部后才能简化时，需重复应用分部积分。

Method 3: Integration by Substitution

步骤：

1. 选择替换 $x = g(u)$ 或 $u = h(x)$
2. 计算 $dx = g'(u)du$ 或 $du = h'(x)dx$
3. 替换被积函数中的所有 $x$ 和 $dx$
4. 定积分需调整积分限
5. 积分后换回原变量

常见替换

被积函数特征	替换
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$x = a\sin\theta$
$\sqrt{a^2 + x^2}$	$x = a\tan\theta$
$\sqrt{x^2 - a^2}$	$x = a\sec\theta$
$f(e^x)$	$u = e^x$
$f(\sqrt{x})$	$u = \sqrt{x}$

Method 4: Integration of Rational Functions

步骤：

1. 多项式除法：若分子次数 $\ge$ 分母次数，先做除法
2. 部分分式分解：
   • 线性因子：$\frac{A}{x-a}$
   • 重复线性因子：$\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2} + \cdots$
   • 二次因子：$\frac{Ax+B}{x^2 + c^2}$
3. 求解系数：通分后比较系数或代入特殊值
4. 逐项积分：
   • $\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a|$
   • $\int \frac{1}{(x-a)^n}\,dx = \frac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1}$
   • $\int \frac{1}{x^2+a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}$
   • $\int \frac{x}{x^2+a^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+a^2)$