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Integration Techniques — Common Mistakes

Mistake 1: 分部积分中 uu 和 dvdv 选择不当​

错误选择（以 ∫xex dx\int x e^x\,dx 为例）： u=ex,dv=x dxu = e^x,\quad dv = x\,dx

会导致积分变得更复杂。

正确选择（LIATE 法则）： u=x,dv=ex dxu = x,\quad dv = e^x\,dx

LIATE 优先级速查​

优先级选 uu选 dvdv
高ln⁡x\ln x其余部分
↓sin⁡−1x,tan⁡−1x\sin^{-1}x, \tan^{-1}x其余部分
↓xnx^n其余部分
↓sin⁡x,cos⁡x\sin x, \cos x其余部分
低exe^x其余部分

Mistake 2: 递推公式中 ddx\frac{d}{dx} 与 ddt\frac{d}{dt} 混淆​

在处理 ∫sin⁡nx dx\int \sin^n x\,dx 时，分部积分：

u=sin⁡n−1x,dv=sin⁡x dxu = \sin^{n-1}x,\quad dv = \sin x\,dx

du=(n−1)sin⁡n−2xcos⁡x dx(正确)du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx \quad (\text{正确})

错误：du=(n−1)sin⁡n−2x dxdu = (n-1)\sin^{n-2}x\,dx（忘记对 sin⁡x\sin x 内部求导的 cos⁡x\cos x）

Mistake 3: 部分分式系数求解错误​

常见误区是不对分母做完整分解。

2x2+3x+1(x−1)(x2+1)=Ax−1+Bx+Cx2+1\frac{2x^2+3x+1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}

错误：写成 Ax−1+Bx2+1\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x^2+1}（缺少 xx 项系数 CC）

Mistake 4: 换元忘记调整积分限​

∫01f(x) dx→x=sin⁡θ∫??f(sin⁡θ)cos⁡θ dθ\int_0^1 f(x)\,dx \xrightarrow{x = \sin\theta} \int_?^? f(\sin\theta)\cos\theta\,d\theta

dx=cos⁡θ dθdx = \cos\theta\,d\theta，且当 x=0x=0 时 θ=0\theta=0，x=1x=1 时 θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}

错误：忘记改变积分上下限，仍用 00 到 11。

Mistake 5: 递推关系方向弄反​

如 nIn=(n−1)In−2nI_n = (n-1)I_{n-2}，是降次递推。要从 InI_n 推到 In−2I_{n-2} 再推到 I0I_0 或 I1I_1。

错误：试图从 I0I_0 直接算到 InI_n 而不使用递推。

Mistake 6: 有理函数积分中分子分母次数判断​

当分子次数 ≥\ge 分母次数时，必须先做多项式除法。

示例： x3x−1=x2+x+1+1x−1\frac{x^3}{x-1} = x^2 + x + 1 + \frac{1}{x-1}

不做除法直接分解部分分式会导致错误。

Mistake 7: 忘记常数 CC​

不定积分结果必须加 +C+ C。定积分则不需要。