跳到主要内容

Integration Techniques

考纲要求​

  • 掌握递推公式（Reduction Formulae）的建立与求解
  • 熟练运用分部积分法
  • 熟练运用换元积分法
  • 掌握有理函数的积分（部分分式分解）

常见题型​

题型分值频率
递推公式（Reduction Formulae）7–11 marks必考大题
分部积分 / 换元积分3–4 marks高频
有理函数积分5 marks中频

核心公式​

分部积分：

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du

部分分式分解：

P(x)(x−a)(x−b)=Ax−a+Bx−b\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}

P(x)(x−a)2=Ax−a+B(x−a)2\frac{P(x)}{(x-a)^2}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}

递推公式一般形式：

In=∫f(x,n) dx,In=g(n)⋅In−k+h(x)I_n=\int f(x,n)\,dx,\quad I_n=g(n)\cdot I_{n-k}+h(x)

常见错误​

  1. 分部积分中 uu、dvdv 选择不当：未遵循 LIATE 法则导致计算复杂
  2. 递推公式边界条件遗漏：未给出 I0I_0 或 I1I_1 的值
  3. 部分分式系数求解错误：未正确解出 AA、BB 等系数
  4. 换元忘记调整上下限：定积分换元后忘记改变积分限
  5. 递推方向混淆：递推关系中 nn 增大还是减小的方向搞反