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Implicit Differentiation — Solution Methods

Method 1: Finding dydx\frac{dy}{dx}​

步骤：

  1. 对等式两边同时对 xx 求导
  2. 对每个 yy 的函数项，使用链式法则乘 dydx\frac{dy}{dx}
  3. 对 xx 与 yy 的乘积项，使用乘积法则
  4. 将所有含 dydx\frac{dy}{dx} 的项移到等式一边
  5. 提出 dydx\frac{dy}{dx} 并求解

示例流程：

x2+y2=25x^2 + y^2 = 25

2x+2ydydx=02x + 2y\frac{dy}{dx} = 0

dydx=−xy\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

链式法则

ddxf(y)=f′(y)dydx\frac{d}{dx}f(y) = f'(y)\frac{dy}{dx}

ddxsin⁡y=cos⁡ydydx\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\frac{dy}{dx}

ddxey=eydydx\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}

Method 2: Finding d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}​

Sub-method 2A: Direct Differentiation​

步骤：

  1. 对 dydx\frac{dy}{dx} 的表达式再次对 xx 求导
  2. 右侧使用商法则（如果是分式形式）
  3. 遇到 dydx\frac{dy}{dx} 时，代入第一步的表达式
  4. 利用原方程化简

Sub-method 2B: Implicit Second Derivative​

有时先对原方程再求导一次更简单：

  1. 对第一步得到的方程再对 xx 求导
  2. 直接得到含 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} 的方程
  3. 代入 dydx\frac{dy}{dx} 的表达式
注意

d2ydx2≠d2y/dt2d2x/dt2\frac{d^2y}{dx^2} \neq \frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}

正确的做法是：

d2ydx2=ddx(dydx)\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)

Method 3: Values at Specific Points​

步骤：

  1. 先求出 dydx\frac{dy}{dx} 的一般表达式
  2. 代入给定点的坐标 (x0,y0)(x_0, y_0)
  3. 计算数值（注意 xx、yy 都代入）

切线方程：y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)，其中 m=dydx∣(x0,y0)m = \frac{dy}{dx}\big|_{(x_0,y_0)}

法线方程：y−y0=−1m(x−x0)y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)（m≠0m \neq 0 时）

Method 4: Stationary Points on Implicit Curves​

步骤：

  1. 令 dydx=0\frac{dy}{dx} = 0
  2. 代入原方程（通常得到一个关于 xx、yy 的简化方程）
  3. 与原方程联立求解驻点坐标
  4. 用二阶导数判断极值性质
关键思想

dydx=0\frac{dy}{dx}=0 等价于分子为 0（当 dydx\frac{dy}{dx} 是分式时）。