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Implicit Differentiation — Common Mistakes

Mistake 1: 对 yy 的函数求导时忘记乘 dydx\frac{dy}{dx}​

错误： ddx(y2)=2y\frac{d}{dx}(y^2) = 2y

正确： ddx(y2)=2ydydx\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}

危险

这是隐函数求导中最常见、最致命的错误。每个含 yy 的函数求导后都要乘以 dydx\frac{dy}{dx}。

更多例子​

函数错误求导正确求导
sin⁡y\sin ycos⁡y\cos ycos⁡ydydx\cos y \frac{dy}{dx}
eye^yeye^yeydydxe^y \frac{dy}{dx}
ln⁡y\ln y1y\frac{1}{y}1ydydx\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}
y3y^33y23y^23y2dydx3y^2\frac{dy}{dx}

Mistake 2: 乘积法则处理错误​

错误： ddx(xy)=y\frac{d}{dx}(xy) = y

正确： ddx(xy)=y+xdydx\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}

错误： ddx(x2y)=2xy\frac{d}{dx}(x^2y) = 2xy

正确： ddx(x2y)=2xy+x2dydx\frac{d}{dx}(x^2y) = 2xy + x^2\frac{dy}{dx}

Mistake 3: d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} 时直接用商法则忘记 dydx\frac{dy}{dx}​

求二阶导数时，对一阶导数表达式使用商法则后，结果中出现的 yy 项仍需要乘以 dydx\frac{dy}{dx}。

Mistake 4: 代入点坐标时顺序错误​

求出 dydx=−2x+yx+2y\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+y}{x+2y} 后，在 (−1,2)(-1,2) 处的值：

正确： dydx=−2(−1)+2−1+2(2)=−03=0\frac{dy}{dx} = -\frac{2(-1)+2}{-1+2(2)} = -\frac{0}{3} = 0

注意 x=−1x=-1、y=2y=2 同时代入分子分母。

Mistake 5: 化简不彻底​

求 dydx\frac{dy}{dx} 后，部分表达式可以约分或利用原方程简化，但过于简化有时反而浪费时间。注意：

  • 若题目要求 "in terms of xx and yy"，确保表达式中只有 xx 和 yy
  • 若要求 simplest form，需全部化简

Mistake 6: 切线法线方程混淆​

切线斜率 =dydx= \frac{dy}{dx}，法线斜率 =−1dydx= -\frac{1}{\frac{dy}{dx}}（当 dydx≠0\frac{dy}{dx} \neq 0）。

法线方程：y−y0=−1m(x−x0)y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)

Mistake 7: 驻点判断​

令 dydx=0\frac{dy}{dx} = 0 时，注意 dydx\frac{dy}{dx} 是分式，分子为 0 即可。

但还需确保分母在此点不为 0，否则该点可能是奇点而非驻点。