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Implicit Differentiation

考纲要求​

  • 对隐函数方程求一阶导数 dydx\frac{dy}{dx}
  • 对隐函数方程求二阶导数 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}
  • 在给定点处求导数值
  • 结合切线法线方程综合考查

常见题型​

题型分值频率
求一阶导数 dydx\frac{dy}{dx}3 marks必考
求二阶导数 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}5 marks高频
特定点处的导数值（含切线）8 marks中频

核心公式​

隐函数求导法则：

ddxf(y)=f′(y)dydx\frac{d}{dx}f(y)=f'(y)\frac{dy}{dx}

常用乘积法则：

ddx(xy)=y+xdydx\frac{d}{dx}(xy)=y+x\frac{dy}{dx}

二阶导数：

d2ydx2=ddx(dydx)=ddy(dydx)⋅dydx\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dy}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{dy}{dx}

常见错误​

  1. 忘记乘 dydx\frac{dy}{dx}：对 yy 的函数求导时忘记链式法则
  2. 乘积法则遗漏：处理 xyxy、x2yx^2y 等项时漏用乘积法则
  3. 代入顺序错误：求出 dydx\frac{dy}{dx} 表达式后未代入具体点坐标
  4. 二阶导数公式混淆：误用商的导数规则而非隐函数方法
  5. 化简遗漏：最终表达式未按要求化简为最简形式