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考纲要点（Syllabus Points）

以下为 CAIE 9231 Further Mathematics Paper 2 中关于 Hyperbolic Functions 的考纲要求。

1. 双曲函数的定义​

  • 理解 sinh⁡x\sinh x、cosh⁡x\cosh x、tanh⁡x\tanh x 及其倒数函数的指数形式定义
  • 掌握以下关系： sinh⁡x=ex−e−x2,cosh⁡x=ex+e−x2,tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} cosech⁡x=1sinh⁡x,sech⁡x=1cosh⁡x,coth⁡x=1tanh⁡x\operatorname{cosech} x = \frac{1}{\sinh x}, \quad \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}, \quad \coth x = \frac{1}{\tanh x}

2. 双曲恒等式​

  • 掌握并能够证明核心恒等式：
    • cosh⁡2x−sinh⁡2x≡1\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1
    • 1−tanh⁡2x≡sech⁡2x1 - \tanh^2 x \equiv \operatorname{sech}^2 x
    • coth⁡2x−cosech⁡2x≡1\coth^2 x - \operatorname{cosech}^2 x \equiv 1
  • 能够利用上述恒等式推导其他关系
  • 注意与三角恒等式的类比关系（Osborne's rule）

3. 双曲函数的图像​

  • 能够画出 y=sinh⁡xy = \sinh x、y=cosh⁡xy = \cosh x、y=tanh⁡xy = \tanh x 的图像
  • 能够画出 y=sech⁡xy = \operatorname{sech} x、y=cosech⁡xy = \operatorname{cosech} x、y=coth⁡xy = \coth x 的图像
  • 掌握各函数的关键特征：
    • 定义域和值域
    • 对称性（奇偶性）
    • 渐近线
    • 极值点
    • 与坐标轴的交点

4. 反双曲函数​

  • 理解 sinh⁡−1x\sinh^{-1} x、cosh⁡−1x\cosh^{-1} x、tanh⁡−1x\tanh^{-1} x 的定义
  • 掌握反双曲函数的定义域和值域：
    • sinh⁡−1x\sinh^{-1} x：定义域 R\mathbb{R}，值域 R\mathbb{R}
    • cosh⁡−1x\cosh^{-1} x：定义域 x≥1x \ge 1，值域 y≥0y \ge 0
    • tanh⁡−1x\tanh^{-1} x：定义域 |x| < 1，值域 R\mathbb{R}
  • 掌握反双曲函数的对数形式： sinh⁡−1x=ln⁡(x+x2+1)\sinh^{-1} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) cosh⁡−1x=ln⁡(x+x2−1)(x≥1)\cosh^{-1} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \quad (x \ge 1) \tanh^{-1} x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \quad (|x| < 1)

5. 双曲函数的求导​

  • 掌握基本求导公式：
    • ddx(sinh⁡x)=cosh⁡x\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x
    • ddx(cosh⁡x)=sinh⁡x\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x
    • ddx(tanh⁡x)=sech⁡2x\frac{d}{dx}(\tanh x) = \operatorname{sech}^2 x
    • ddx(sech⁡x)=−sech⁡xtanh⁡x\frac{d}{dx}(\operatorname{sech} x) = -\operatorname{sech} x \tanh x
    • ddx(cosech⁡x)=−cosech⁡xcoth⁡x\frac{d}{dx}(\operatorname{cosech} x) = -\operatorname{cosech} x \coth x
    • ddx(coth⁡x)=−cosech⁡2x\frac{d}{dx}(\coth x) = -\operatorname{cosech}^2 x
  • 掌握反双曲函数求导公式：
    • ddx(sinh⁡−1x)=11+x2\frac{d}{dx}(\sinh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}
    • ddx(cosh⁡−1x)=1x2−1\frac{d}{dx}(\cosh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}
    • ddx(tanh⁡−1x)=11−x2\frac{d}{dx}(\tanh^{-1} x) = \frac{1}{1 - x^2}
  • 能够使用链式法则、乘积法则、商法则求复合双曲函数
  • 能够对隐函数形式的双曲方程求导

6. 双曲函数的积分​

  • 掌握基本积分公式：
    • ∫sinh⁡x dx=cosh⁡x+C\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
    • ∫cosh⁡x dx=sinh⁡x+C\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
    • ∫sech⁡2x dx=tanh⁡x+C\int \operatorname{sech}^2 x \, dx = \tanh x + C
    • ∫cosech⁡xcoth⁡x dx=−cosech⁡x+C\int \operatorname{cosech} x \coth x \, dx = -\operatorname{cosech} x + C
    • ∫sech⁡xtanh⁡x dx=−sech⁡x+C\int \operatorname{sech} x \tanh x \, dx = -\operatorname{sech} x + C
    • ∫cosech⁡2x dx=−coth⁡x+C\int \operatorname{cosech}^2 x \, dx = -\coth x + C
  • 掌握与反双曲函数相关的积分公式：
    • ∫1a2+x2 dx=sinh⁡−1(xa)+C\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} \, dx = \sinh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C
    • \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \cosh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \quad (x > a)
    • \int \frac{1}{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{a}\tanh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \quad (|x| < a)

7. 双曲代换​

  • 能够使用双曲代换计算积分：
    • a2+x2\sqrt{a^2 + x^2} 形式：令 x=asinh⁡tx = a\sinh t
    • x2−a2\sqrt{x^2 - a^2} 形式：令 x=acosh⁡tx = a\cosh t
    • a2−x2a^2 - x^2 形式：令 x=atanh⁡tx = a\tanh t

8. 弧长​

  • 能够计算以双曲函数形式给出的曲线的弧长： L=∫ab1+(dydx)2 dxL = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx
  • 常用恒等式化简：1+sinh⁡2x=cosh⁡2x1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x

9. 旋转曲面面积​

  • 能够计算曲线绕 xx 轴旋转所得曲面的面积： S=2π∫aby1+(dydx)2 dxS = 2\pi \int_a^b y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx
  • 熟练使用 cosh⁡2x=12(cosh⁡2x+1)\cosh^2 x = \frac{1}{2}(\cosh 2x + 1) 进行积分