科目9231-further-mathematics9231 Further Mathematics Paper 2topicsHyperbolic Functions考前速记本页总览考前速记（Last Minute Summary） 一、必须背熟的公式 定义（指数形式） sinhx=ex−e−x2,coshx=ex+e−x2,tanhx=sinhxcoshx\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}sinhx=2ex−e−x,coshx=2ex+e−x,tanhx=coshxsinhx 三大恒等式 cosh2x−sinh2x=1\boxed{\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1}cosh2x−sinh2x=1 1−tanh2x=sech2x\boxed{1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x}1−tanh2x=sech2x coth2x−cosech2x=1\boxed{\coth^2 x - \operatorname{cosech}^2 x = 1}coth2x−cosech2x=1 重要推论 1+sinh2x=cosh2x,1+cosech2x=coth2x1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x, \quad 1 + \operatorname{cosech}^2 x = \coth^2 x1+sinh2x=cosh2x,1+cosech2x=coth2x 求导公式 函数导数sinhx\sinh xsinhxcoshx\cosh xcoshxcoshx\cosh xcoshxsinhx\sinh xsinhxtanhx\tanh xtanhxsech2x\operatorname{sech}^2 xsech2xsechx\operatorname{sech} xsechx−sechxtanhx-\operatorname{sech} x \tanh x−sechxtanhxcosechx\operatorname{cosech} xcosechx−cosechxcothx-\operatorname{cosech} x \coth x−cosechxcothxcothx\coth xcothx−cosech2x-\operatorname{cosech}^2 x−cosech2xsinh−1x\sinh^{-1} xsinh−1x11+x2\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}1+x21cosh−1x\cosh^{-1} xcosh−1x1x2−1\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}x2−11tanh−1x\tanh^{-1} xtanh−1x11−x2\frac{1}{1 - x^2}1−x21 积分公式 ∫sinhx dx=coshx+C,∫coshx dx=sinhx+C,∫sech2x dx=tanhx+C\int \sinh x \, dx = \cosh x + C, \quad \int \cosh x \, dx = \sinh x + C, \quad \int \operatorname{sech}^2 x \, dx = \tanh x + C∫sinhxdx=coshx+C,∫coshxdx=sinhx+C,∫sech2xdx=tanhx+C ∫1x2+a2 dx=sinh−1(xa)+C\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \sinh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C∫x2+a21dx=sinh−1(ax)+C \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \cosh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \quad (x > a) 弧长 L=∫ab1+(dydx)2 dxL = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dxL=∫ab1+(dxdy)2dx 旋转曲面面积 S=2π∫aby1+(dydx)2 dxS = 2\pi \int_a^b y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dxS=2π∫aby1+(dxdy)2dx 二、问题模式速查 问题类型关键步骤常用恒等式恒等式证明写成指数形式 → 展开化简(ex±e−x)2=e2x±2+e−2x(e^x \pm e^{-x})^2 = e^{2x} \pm 2 + e^{-2x}(ex±e−x)2=e2x±2+e−2x求交点令等式 → 化为 t=ext = e^xt=ex 方程 → 取 ln\lnlnt > 0 条件求导识别类型 → 应用公式 → 链式法则隐函数记得 dydx\frac{dy}{dx}dxdy弧长1+(y′)2\sqrt{1 + (y')^2}1+(y′)2 → 化为 coshx\cosh xcoshx1+sinh2x=cosh2x1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x1+sinh2x=cosh2x曲面面积2π∫y1+(y′)2 dx2\pi \int y \sqrt{1 + (y')^2} \, dx2π∫y1+(y′)2dxcosh2x=12(cosh2x+1)\cosh^2 x = \frac{1}{2}(\cosh 2x + 1)cosh2x=21(cosh2x+1)双曲代换a2+x2→x=asinht\sqrt{a^2 + x^2} \to x = a\sinh ta2+x2→x=asinhtcosh2t−sinh2t=1\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1cosh2t−sinh2t=1 三、考试红牌警告 考场上绝对不要犯的错误 忘记 2π2\pi2π：旋转曲面面积公式中 S=2π∫y1+(y′)2 dxS = 2\pi \int y \sqrt{1 + (y')^2} \, dxS=2π∫y1+(y′)2dx，不是 π\piπ 也不是无系数 符号弄反：ddx(coshx)=+sinhx\frac{d}{dx}(\cosh x) = +\sinh xdxd(coshx)=+sinhx（不是 −sinhx-\sinh x−sinhx） t > 0 条件：令 t=ext = e^xt=ex 后必须舍去 t≤0t \le 0t≤0 的解 cosh2x\cosh^2 xcosh2x 降幂：遇到 ∫cosh2x dx\int \cosh^2 x \, dx∫cosh2xdx 必须使用 cosh2x=12(cosh2x+1)\cosh^2 x = \frac{1}{2}(\cosh 2x + 1)cosh2x=21(cosh2x+1) 答案形式：注意题目要求 "logarithmic form" 还是 "exact value" 四、考前 5 分钟快速检查清单 sinhx=ex−e−x2\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}sinhx=2ex−e−x 指数形式记住了吗？ cosh2−sinh2=1\cosh^2 - \sinh^2 = 1cosh2−sinh2=1 是减号而不是加号？ 1+sinh2=cosh21 + \sinh^2 = \cosh^21+sinh2=cosh2 这个变形会用吗？ ddx(coshx)=sinhx\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh xdxd(coshx)=sinhx 是正号？ 弧长公式里根号内有 111？ 旋转曲面面积有 2π2\pi2π？ cosh2x\cosh^2 xcosh2x 积分要降幂？ x2−a2\sqrt{x^2 - a^2}x2−a2 代换用 cosh\coshcosh？a2+x2\sqrt{a^2 + x^2}a2+x2 代换用 sinh\sinhsinh？ 隐函数求导记得乘以 dydx\frac{dy}{dx}dxdy？ 答案要写成 ln\lnln 形式？