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Hyperbolic Functions（双曲函数）

考纲要求​

  1. 理解双曲函数的定义（指数形式）：sinh⁡x=ex−e−x2\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}，cosh⁡x=ex+e−x2\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}，tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}
  2. 掌握双曲恒等式：cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1，1−tanh⁡2x=sech⁡2x1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x，coth⁡2x−cosech⁡2x=1\coth^2 x - \operatorname{cosech}^2 x = 1
  3. 会画双曲函数图像：y=sinh⁡xy = \sinh x，y=cosh⁡xy = \cosh x，y=tanh⁡xy = \tanh x，y=coth⁡xy = \coth x，y=sech⁡xy = \operatorname{sech} x
  4. 理解反双曲函数的定义、定义域和值域
  5. 掌握双曲函数及反双曲函数的求导公式
  6. 掌握双曲函数及反双曲函数的积分公式
  7. 能用双曲代换计算积分
  8. 能用双曲函数求弧长（arc length）
  9. 能用双曲函数求旋转曲面面积（surface area of revolution）

常见题型​

题型分值链接
双曲恒等式证明3 分题型 1
双曲图像与交点2–4 分题型 2
双曲函数求导3–5 分题型 3
弧长问题5–7 分题型 4
旋转曲面面积6 分题型 5
双曲代换积分4–9 分题型 6

核心公式​

定义​

sinh⁡x=ex−e−x2,cosh⁡x=ex+e−x2,tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} cosech⁡x=1sinh⁡x,sech⁡x=1cosh⁡x,coth⁡x=1tanh⁡x\operatorname{cosech} x = \frac{1}{\sinh x}, \quad \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}, \quad \coth x = \frac{1}{\tanh x}

恒等式​

cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 1−tanh⁡2x=sech⁡2x1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x coth⁡2x−cosech⁡2x=1\coth^2 x - \operatorname{cosech}^2 x = 1

求导公式​

ddx(sinh⁡x)=cosh⁡x,ddx(cosh⁡x)=sinh⁡x,ddx(tanh⁡x)=sech⁡2x\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x, \quad \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x, \quad \frac{d}{dx}(\tanh x) = \operatorname{sech}^2 x ddx(sech⁡x)=−sech⁡xtanh⁡x,ddx(cosech⁡x)=−cosech⁡xcoth⁡x,ddx(coth⁡x)=−cosech⁡2x\frac{d}{dx}(\operatorname{sech} x) = -\operatorname{sech} x \tanh x, \quad \frac{d}{dx}(\operatorname{cosech} x) = -\operatorname{cosech} x \coth x, \quad \frac{d}{dx}(\coth x) = -\operatorname{cosech}^2 x

反双曲函数求导​

ddx(sinh⁡−1x)=11+x2,ddx(cosh⁡−1x)=1x2−1,ddx(tanh⁡−1x)=11−x2\frac{d}{dx}(\sinh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}, \quad \frac{d}{dx}(\cosh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}, \quad \frac{d}{dx}(\tanh^{-1} x) = \frac{1}{1 - x^2}
注意定义域

cosh⁡−1x\cosh^{-1} x 的定义域为 x≥1x \ge 1，tanh⁡−1x\tanh^{-1} x 的定义域为 |x| < 1。

积分公式​

∫sinh⁡x dx=cosh⁡x+C,∫cosh⁡x dx=sinh⁡x+C,∫sech⁡2x dx=tanh⁡x+C\int \sinh x \, dx = \cosh x + C, \quad \int \cosh x \, dx = \sinh x + C, \quad \int \operatorname{sech}^2 x \, dx = \tanh x + C ∫1a2+x2 dx=sinh⁡−1(xa)+C\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} \, dx = \sinh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \cosh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \quad (x > a) \int \frac{1}{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{a} \tanh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \quad (|x| < a)

弧长公式​

L=∫ab1+(dydx)2 dxL = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx

旋转曲面面积公式​

S=2π∫aby1+(dydx)2 dxS = 2\pi \int_a^b y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx

常见错误​

  • 混淆 sinh⁡x\sinh x 与 sin⁡x\sin x 的导数：ddx(sinh⁡x)=cosh⁡x\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x（正号），而非 cosh⁡x\cosh x 的负号
  • 忘记 1−tanh⁡2x=sech⁡2x1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x 中的正负号
  • 弧长公式中遗漏平方根号内的 11
  • 反双曲函数求导时忽略定义域限制
  • 旋转曲面面积中忘记乘以 2π2\pi