Syllabus Points — First Order Differential Equations

核心知识点

1. 一阶线性 ODE 的标准形式

• $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$
• 注意 $x$ 也可能作为自变量用于 $\frac{dx}{dt}$ 的情形

2. 积分因子法

• 定义 $I = e^{\int P(x)\,dx}$
• 乘以 $I$ 后左边化简为 $\frac{d}{dx}(yI)$
• 通解公式：$y = \frac{1}{I}\int IQ\,dx$

3. 可分离变量方程

• 形如 $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$
• 改写为 $\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$
• 两边同时积分

4. 初值问题（Initial Value Problems）

• 给出 $y(x_0) = y_0$ 的条件
• 用于确定通解中的任意常数
• 有时需要根据物理意义选择正负号

5. 特殊形式的积分因子

• 分母含 $\sqrt{x^2 \pm a^2}$ 时，积分因子化为 $x \pm \sqrt{x^2 \pm a^2}$
• 分母为二次式时，积分因子化为 $\sqrt{ax^2+bx+c}$（需配方）
• 三角系数 $P(x) = \cot\theta$ 等时，积分因子简化为 $\sin\theta$ 等

6. 常见的 $P(x)$ 积分公式

$P(x)$	$\int P\,dx$	$I = e^{\int P\,dx}$
$k$（常数）	$kx$	$e^{kx}$
$\frac{k}{x}$	$k\ln x$	$x^k$
$\tan x$	$-\ln\cos x$	$\sec x$
$\cot x$	$\ln\sin x$	$\sin x$
$\frac{x}{x^2+a^2}$	$\frac{1}{2}\ln(x^2+a^2)$	$\sqrt{x^2+a^2}$
$\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$	$\sqrt{x^2+a^2}$	$e^{\sqrt{x^2+a^2}}$