Mark Scheme Patterns — First Order Differential Equations

典型给分点分布

步骤	标记	说明
识别 $P(x)$ 和 $Q(x)$	B1	正确指出 $P$ 和 $Q$
求积分因子	M1	$I = e^{\int P\,dx}$
积分因子化简正确	A1	例如 $I = x^2$ 或 $e^{5x}$
乘 $I$ 后左边为 $\frac{d}{dx}(yI)$	M1	识别精确微分
积分过程	M1	对 RHS 积分
积分结果正确	A1	含 $+C$
写出 $y$ 的通解	A1	正确分离 $y$
代入初值	M1	$y(x_0) = y_0$ 代入
常数正确	A1	$C$ 的值正确
最终特解	A1	最简形式

常见给分模式

积分因子题型（6-10 分）

B1 (识别 $P,Q$) → M1 (求 IF) → A1 (IF 正确) → M1 (乘 IF 后 LHS 为导数) → M1 (积分) → A1 (通解) → M1 (代入初值) → A1 (特解)

5 分小问

• part (a) 求 IF：B1 + M1 + A1 = 3 分
• part (b) 求解：M1 + A1 = 2 分

分离变量题型（4-6 分）

M1 (分离变量) → M1 (两边积分) → A1 (积分结果) → M1 (代入初值) → A1 (显式解)

评分陷阱

• 积分因子未化简到最简形式可能扣分（如 $e^{\ln x}$ 应写为 $x$）
• $+C$ 遗漏扣 A1 分
• 代数化简错误但过程正确，给方法分但不给答案分
• 特解中未代入初值最多得一半分