考前速记 — First Order Differential Equations

核心公式

公式	说明
$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$	标准形式
$I = e^{\int P\,dx}$	积分因子
$\frac{d}{dx}(yI) = IQ$	乘 IF 后化简
$y = \frac{1}{I}\int IQ\,dx$	通解公式
$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$	可分离形式
$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$	分离变量

常见积分因子速查

原方程形式	$P(x)$	$I$
$\frac{dy}{dx} + ky = Q$	$k$	$e^{kx}$
$\frac{dy}{dx} + \frac{k}{x}y = Q$	$\frac{k}{x}$	$x^k$
$\frac{dy}{dx} + (\tan x)y = Q$	$\tan x$	$\sec x$
$\frac{dy}{dx} + (\cot x)y = Q$	$\cot x$	$\sin x$
$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2+a^2}y = Q$	$\frac{x}{x^2+a^2}$	$\sqrt{x^2+a^2}$

特殊化简

• $e^{\sinh^{-1}x} = x + \sqrt{x^2+1}$
• $e^{\cosh^{-1}x} = x + \sqrt{x^2-1}$
• $\sqrt{(x+a)^2 + b^2}$ 配方后常见

易错点

• 先标准化（$dy/dx$ 系数为 $1$）
• 积分因子可忽略积分常数
• 初值条件必须代入
• 通解中的 $+C$ 不可遗漏

解题流程

1. 标准化 → 2. 找 $P$ → 3. 求 $I$ → 4. 乘 $I$ → 5. $\frac{d}{dx}(yI)$ → 6. 积分 → 7. 解出 $y$ → 8. 代入初值