常见错误 — First Order Differential Equations

错误 1：积分因子符号错误

错误：未将方程化为标准形式就直接求 $I$ 。

例如对 $x\frac{dy}{dx} + 2y = e^x$ ，直接 $P(x) = 2$ 而不是先除以 $x$ 得到 $P(x) = \frac{2}{x}$ 。

正解：先除以 $x$ 的最高幂次，使 $dy/dx$ 系数为 $1$ 。

错误：乘 $I$ 后只写了 $I\frac{dy}{dx} + IPy$ ，忘记乘 $IQ$ 或写错 $IQ$ 。

正解：明确写出 $I \times \frac{dy}{dx} + I \times P \times y = I \times Q$ 。

错误：通解求完后没有代入 $y(x_0) = y_0$ 。

正解：初值题必须代入求常数，否则即使通解正确也只得到部分分数。

错误：保留 $e^{\ln(x^2+1)}$ 形式。

正解： $e^{\ln(x^2+1)} = x^2 + 1$ 。

注意 $e^{\frac{1}{2}\ln f(x)} = \sqrt{f(x)}$ 。

错误：积分后写 $yI = \int IQ\,dx$ （无 $+C$ ）。

正解： $yI = \int IQ\,dx + C$ 。漏常数意味失去通解的普遍性。

错误：对 $x\frac{dy}{dx} + 2y = e^x$ 直接令 $P(x) = 2$ 。

正解：标准形式要求 $dy/dx$ 系数为 $1$ ，先除 $x$ 得 $P(x) = 2/x$ ， $Q(x) = e^x/x$ 。

错误： $\int y^2\,dy = \int x\,dx$ 写成 $\int \frac{1}{y^2}\,dy = \int x\,dx$ 。

正解：仔细移项，确保 $y$ 项和 $dy$ 在同侧， $x$ 项和 $dx$ 在同侧。

错误：最终答案保留 $y = \frac{x^4/4 + C}{x}$ 。

正解：应化简为 $y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x}$ ，再代入初值得具体数值。