First Order Differential Equations（一阶微分方程）

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考纲要求

1. 掌握一阶线性 ODE 的标准形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$
2. 会用积分因子法（integrating factor）求解：$I = e^{\int P\,dx}$
3. 能处理可分离变量的一阶方程
4. 能应用初始条件求解特解
5. 理解 $t$ 为自变量的情形（如 $\frac{dx}{dt}$）

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常见题型

题型	分值	链接
积分因子法（标准型）	6–8 分	题型 1
可分离变量方程	4–6 分	题型 2
初值问题（含 IVP）	6–10 分	题型 3

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核心公式

积分因子法

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$ $$I = e^{\int P(x)\,dx}$$ $$\frac{d}{dx}(yI) = IQ(x)$$ $$y = \frac{1}{I}\int IQ(x)\,dx$$

可分离变量

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \quad\Rightarrow\quad \int \frac{1}{g(y)} \, dy = \int f(x) \, dx$$

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常见错误

• 忘记积分因子中的指数负号（当 $P(x)$ 有负号时）
• 积分后漏加常数 $C$
• 化简通解时遗漏绝对值
• 代入初值时代数错误

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真题分布

年份	题号	分值	题型
s20/21	Q1	6	IF + IVP
w20/22	Q4	8	IF + IVP
s20/23	Q7	11	IF（复杂系数）
w21/21	Q7	4+7	IF（特殊形式）
w22/21	Q8	11	IF（三角系数）
s25/21	Q7	10	IF（二次系数）