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Syllabus Points — Complex Numbers

核心知识点​

1. 复数的模-辐角形式（Modulus-Argument Form）​

  • z=x+iy=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz = x + iy = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}
  • r=∣z∣=x2+y2r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}
  • θ=arg⁡(z)\theta = \arg(z)，主辐角范围 -\pi < \arg(z) \le \pi
  • 辐角加减 2π2\pi 不改变复数值

2. De Moivre 定理​

  • (reiθ)n=rneinθ=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)
  • 逆用：r1/neiθ/nr^{1/n} e^{i\theta/n} 是 reiθre^{i\theta} 的一个 nn 次根
  • 适用于正负整数指数
  • zn+z−n=2cos⁡nθz^n + z^{-n} = 2\cos n\theta，zn−z−n=2isin⁡nθz^n - z^{-n} = 2i\sin n\theta

3. 复数的 nn 次根​

  • zn=a+biz^n = a + bi 有 nn 个不同的根
  • 公式：zk=r1/nei(θ+2kπ)/nz_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2k\pi)/n}，k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \dots, n-1
  • 所有根在复平面上位于半径为 r1/nr^{1/n} 的圆上，等距分布
  • 相邻根的辐角差为 2π/n2\pi/n

4. 单位根（Roots of Unity）​

  • zn=1z^n = 1 的根：ωk=e2πik/n\omega_k = e^{2\pi i k / n}，k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \dots, n-1
  • 性质：
    • ∑k=0n−1ωk=0\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0
    • ∏k=0n−1ωk=(−1)n−1\prod_{k=0}^{n-1} \omega_k = (-1)^{n-1}
    • ωk‾=ωn−k\overline{\omega_k} = \omega_{n-k}
    • ωjωk=ωj+k\omega_j \omega_k = \omega_{j+k}
  • 常用于因式分解：zn−1=(z−1)(z−ω)(z−ω2)⋯(z−ωn−1)z^n - 1 = (z-1)(z-\omega)(z-\omega^2)\cdots(z-\omega^{n-1})

5. 三角恒等式（Trigonometric Identities）​

  • 用 z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos\theta + i\sin\theta 表示 cos⁡nθ\cos n\theta、sin⁡nθ\sin n\theta
  • 用二项式展开 (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta
  • 比较实部和虚部得 cos⁡nθ\cos^n\theta、sin⁡nθ\sin^n\theta 的展开式
  • 常用技巧：
    • (2cos⁡θ)n=zn+(n1)zn−2+⋯(2\cos\theta)^n = z^n + \binom{n}{1} z^{n-2} + \cdots
    • (2isin⁡θ)n=zn−(n1)zn−2+⋯(2i\sin\theta)^n = z^n - \binom{n}{1} z^{n-2} + \cdots

6. 复数级数求和（Summation of Series）​

  • 等比数列求和应用：∑r=0n−1zr=1−zn1−z\sum_{r=0}^{n-1} z^r = \frac{1 - z^n}{1 - z}
  • 令 z=eiθz = e^{i\theta} 分离实部和虚部：
    • ∑r=0n−1cos⁡(rθ)=sin⁡(nθ/2)sin⁡(θ/2)cos⁡((n−1)θ/2)\sum_{r=0}^{n-1} \cos(r\theta) = \frac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cos((n-1)\theta/2)
    • ∑r=0n−1sin⁡(rθ)=sin⁡(nθ/2)sin⁡(θ/2)sin⁡((n−1)θ/2)\sum_{r=0}^{n-1} \sin(r\theta) = \frac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \sin((n-1)\theta/2)
  • 含 C=∑cos⁡C = \sum \cos 和 S=∑sin⁡S = \sum \sin 的组合题型
  • z=1z = 1 时需单独处理