Solution Methods — Complex Numbers

方法一：复数方程求根（$z^n = a+bi$）

适用于求 $z^n = a+bi$ 的全部 $n$ 个根。

Steps

1. 将 $a+bi$ 化为模-辐角形式：$a+bi = re^{i\theta}$
   • $r = \sqrt{a^2 + b^2}$
   • $\theta = \arg(a+bi)$（注意象限）
2. 套用 $n$ 次根公式： $z_k = r^{1/n}\, e^{i(\theta + 2k\pi)/n},\quad k = 0, 1, \dots, n-1$
3. 化简每个根为 $re^{i\theta}$ 形式
4. 如需直角坐标形式，计算 $x + iy$

考场提示

• 必须有 $2k\pi$，漏掉只给 M0
• 相邻根辐角差为 $2\pi/n$，可快速验证
• 特殊角（$\pi/6, \pi/4, \pi/3$ 等）的三角函数值要熟记

示例：s20/21 Q3(a) — $z^3 = -1 - i$（5分）

步骤	内容	标记
模	$r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$	B1
辐角	$\theta = \arg(-1-i) = -3\pi/4$	B1
公式	$z_k = (\sqrt{2})^{1/3} e^{i(-3\pi/4 + 2k\pi)/3}$	M1
$k=0$	$z_0 = 2^{1/6} e^{-i\pi/4}$	A1
$k=1,2$	$z_1 = 2^{1/6} e^{i5\pi/12}$, $z_2 = 2^{1/6} e^{i13\pi/12}$	A1

方法二：根的和与幂的和

适用于已知 $z_1, z_2, \dots, z_n$ 是 $z^n = a+bi$ 的根，求 $S = z_1^{mk} + z_2^{mk} + \cdots + z_n^{mk}$。

Steps

1. 注意 $z^k = (r^{1/n})^k e^{i(\theta + 2\pi j/n)k}$
2. 若 $k$ 是 $n$ 的倍数，则 $z_j^k$ 的值与 $j$ 无关
3. 利用等比数列求和或对称性化简
4. 关键性质：$1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = 0$

示例：s20/21 Q3(b) — $\omega = z_1^{3k} + z_2^{3k} + z_3^{3k}$（3分）

步骤	内容	标记
观察	$z_j^3 = \sqrt{2} e^{i(-3\pi/4 + 2j\pi)} = \sqrt{2} e^{-i3\pi/4}$ 与 $j$ 无关	M1
代入	$z_j^{3k} = (\sqrt{2})^{k} e^{-i3k\pi/4}$	A1
求和	$\omega = 3 \times (\sqrt{2})^{k} e^{-i3k\pi/4}$	A1

方法三：De Moivre 定理与三角恒等式

适用于证明 $\sin^n\theta$ 或 $\cos^n\theta$ 的线性展开式。

Steps

1. 令 $z = \cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}$
2. 用 De Moivre：$z^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$，$z^{-n} = \cos n\theta - i\sin n\theta$
3. 用 $z + z^{-1} = 2\cos\theta$，$z - z^{-1} = 2i\sin\theta$
4. 对 $(2\cos\theta)^n$ 或 $(2i\sin\theta)^n$ 用二项式定理展开
5. 合并 $z^k + z^{-k} = 2\cos k\theta$ 得最终表达式

示例：w20/21 Q6(a) — 证明 $\sin^4\theta = \frac{1}{8}(\cos4\theta - 4\cos2\theta + 3)$（5分）

步骤	内容	标记
设	$(2i\sin\theta)^4 = (z - z^{-1})^4$	M1
展开	$= z^4 - 4z^2 + 6 - 4z^{-2} + z^{-4}$	M1
合并	$= (z^4 + z^{-4}) - 4(z^2 + z^{-2}) + 6$	A1
代入	$= 2\cos4\theta - 8\cos2\theta + 6$	A1
除以	$16\sin^4\theta = 2\cos4\theta - 8\cos2\theta + 6 \Rightarrow \sin^4\theta = \frac{1}{8}(\cos4\theta - 4\cos2\theta + 3)$	A1

方法四：复数级数求和

适用于求 $\sum_{r=0}^{n-1} \cos(r\theta)$ 或 $\sum_{r=0}^{n-1} \sin(r\theta)$。

Steps

1. 构造 $C + iS = \sum_{r=0}^{n-1} e^{ir\theta}$
2. 等比数列求和：$C + iS = \frac{1 - e^{in\theta}}{1 - e^{i\theta}}$
3. 分子分母同乘 $e^{-i\theta/2}$： $C + iS = \frac{e^{-i\theta/2} - e^{i(n-1/2)\theta}}{e^{-i\theta/2} - e^{i\theta/2}}$
4. 化简为 $\frac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)} e^{i(n-1)\theta/2}$
5. 取实部得 $C$，取虚部得 $S$

关键点

• 验证 $e^{i\theta} \neq 1$，即 $\theta \neq 2m\pi$
• 当 $\theta = 2m\pi$ 时，$C = n$，$S = 0$

示例：w20/22 Q7(b) — 证明 $1 + 2\sum_{r=1}^{n} \cos(2r\theta) = \frac{\sin(2n+1)\theta}{\sin\theta}$（5分）

步骤	内容	标记
构造	$\sum_{r=-n}^{n} e^{i2r\theta}$	M1
等比	$= e^{-i2n\theta}\frac{1 - e^{i2(2n+1)\theta}}{1 - e^{i2\theta}}$	M1
化简	$= \frac{e^{i(2n+1)\theta} - e^{-i(2n+1)\theta}}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}$	A1
三角	$= \frac{2i\sin(2n+1)\theta}{2i\sin\theta}$	A1
实部	$1 + 2\sum_{r=1}^{n} \cos(2r\theta) = \frac{\sin(2n+1)\theta}{\sin\theta}$	A1

方法五：$n$ 次单位根

适用于与 $z^n = 1$ 相关的证明和计算。

Steps

1. 写出全部根：$\omega_k = e^{2\pi i k / n}$，$k = 0, 1, \dots, n-1$
2. 利用 $\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k^r = 0$（当 $n \nmid r$）或 $n$（当 $n \mid r$）
3. 利用 $\prod_{k=0}^{n-1} (z - \omega_k) = z^n - 1$
4. 将实系数方程转化为复方程求解

示例：w20/22 Q3 — $(w+1)^6 = 1$ 的根（4分）

步骤	内容	标记
设	$w+1 = e^{2\pi i k / 6}$	M1
解	$w = e^{i\pi k/3} - 1$	A1
列举	$k=0$: $0$; $k=1$: $e^{i\pi/3} - 1$; $k=2$: $e^{i2\pi/3} - 1$; 等	A1
可化简	如 $k=1$: $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$	A1