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Mark Scheme Patterns — Complex Numbers

典型给分点分布​

Type 1：复数方程求根（4–6 分）​

步骤标记说明
计算模 r=a2+b2r = \sqrt{a^2+b^2}B1正确计算模
计算辐角 θ=arg⁡(a+bi)\theta = \arg(a+bi)B1注意象限，弧度制
写出 nn 次根公式M1(reiθ)1/n(re^{i\theta})^{1/n} 形式，含 2kπ2k\pi
第一个根 k=0k=0A1化简到 reiθre^{i\theta}
其余根 k=1,…,n−1k=1,\dots,n-1A1全部正确

Type 2：根的和与幂的和（3–4 分）​

步骤标记说明
验证 zjnz_j^n 与 jj 无关M1利用 zjn=a+biz_j^n = a+bi
计算 zjmkz_j^{mk} 的值A1正确化简
求和A1乘以 nn

Type 3：三角恒等式 / De Moivre（5–6 分）​

步骤标记说明
设 z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos\theta + i\sin\thetaB1或 z=eiθz = e^{i\theta}
写出 z+z−1=2cos⁡θz + z^{-1} = 2\cos\theta 等B1识别
构造 (2cos⁡θ)n(2\cos\theta)^n 或 (2isin⁡θ)n(2i\sin\theta)^nM1正确形式
二项式展开M1正确展开全部项
合并 zk+z−k=2cos⁡kθz^k + z^{-k} = 2\cos k\thetaA1实部合并
最终化简A1得到目标表达式

Type 4：复数级数求和（5–7 分）​

步骤标记说明
构造 C+iS=∑eirθC + iS = \sum e^{ir\theta}M1识别方法
等比数列求和公式M1(1−rn)/(1−r)(1 - r^n)/(1 - r)
化简为 sin⁡\sin 形式M1乘以共轭复数
表达式正确A1化简中间步骤
实部/虚部分离A1最终 CC 和 SS

Type 5：nn 次单位根（1–4 分）​

步骤标记说明
写出根的形式 ω=e2πik/n\omega = e^{2\pi i k/n}B1正确形式
和为零性质B1∑ωk=0\sum \omega^k = 0
其他性质应用M1因式分解或代入
最终结果A1正确答案

常见给分模式​

模式 A：标准求根题（5 分）​

模 B1 → 辐角 B1 → 公式 M1 → k=0k=0 根 A1 → 其余根 A1

模式 B：三角恒等式证明（6 分）​

设 z=eiθz = e^{i\theta} B1 → 写 (2cos⁡θ)n(2\cos\theta)^n M1 → 展开 M1 → 合并 A1 → 整理 A1 → 结论 A1

模式 C：级数求和（7 分）​

C+iS=∑C + iS = \sum M1 → 等比 M1 → 化简 M1 → 中间 A1 → 实/虚部 A1 → 特殊情形 θ=2mπ\theta = 2m\pi B1

给分特点​

  • Show that 题：通常 5–6 分，每一步给 M1/A1，最后结论给独立 A1
  • 求根题：公式步骤给 M1，代入计算给 A1
  • 单位根性质题：直接引用性质给 B1，推理过程给 M1，最终答案给 A1
  • "Hence" 题：前一问的结果可直接使用，无需重复推导
  • Follow-through（FT）标记：如果前一步错误但后续推理正确，给予 A1 FT