常见错误 — Complex Numbers

错误 1：求根时忘记加 $2k\pi$

错误：解 $z^n = a + bi$ 时直接写 $z = (a+bi)^{1/n}$，只得到一个根。

正解：先化为模-辐角形式 $a+bi = re^{i\theta}$，再套公式 $z_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2k\pi)/n}$，$k = 0, 1, \dots, n-1$。

致命错误

$z^n = re^{i\theta}$ 的根必须有 $2k\pi$，否则漏根，最多得 M0。

错误 2：辐角象限判断错误

错误：计算 $\arg(-1-i)$ 时直接写 $\theta = \tan^{-1}(1) = \pi/4$，未考虑在第三象限。

正解：$\arg(-1-i) = -\frac{3\pi}{4}$（或 $\frac{5\pi}{4}$）。用 $\tan^{-1}(y/x)$ 后需根据 $x, y$ 的符号调整象限。

象限	$x$	$y$	$\arg(z)$
I	> 0	> 0	$\theta$
II	< 0	> 0	$\pi - \theta$
III	< 0	< 0	$-\pi + \theta$（或 $\pi + \theta$）
IV	> 0	< 0	$-\theta$（或 $2\pi - \theta$）

其中 $\theta = \tan^{-1}|y/x|$

错误 3：De Moivre 定理用错指数

错误 1：$(\cos\theta + i\sin\theta)^n \neq \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ 的逆用混淆。

错误 2：$(re^{i\theta})^n \neq r^n e^{i\theta n}$ 中指数位置写错为 $r^n e^{i(\theta)^n}$。

正解：$(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$。

错误 4：三角恒等式展开的符号错误

错误：$(z - z^{-1})^4$ 展开时项的顺序或系数的符号混淆。

正解：$(z - z^{-1})^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} z^{n-k}(-z^{-1})^k = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k z^{n-2k}$

特别注意 $(-1)^k$ 的符号变化。

错误 5：$(2i)^n$ 的计算错误

错误：$(2i)^4 = 16$（忘记 $i$ 的幂次）。

正解：$(2i)^4 = 2^4 \times i^4 = 16 \times 1 = 16$ $(2i)^6 = 2^6 \times i^6 = 64 \times (-1) = -64$

i 的幂次循环

$i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, $i^5 = i$, 周期为 4。

错误 6：单位根的和与积混淆

错误：认为 $n$ 次单位根的积也是 $0$。

正解：

• 和 $\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0$
• 积 $\prod_{k=0}^{n-1} \omega_k = (-1)^{n-1}$

例如 $n=3$：积 $= 1 \times e^{2\pi i/3} \times e^{4\pi i/3} = e^{2\pi i} = 1 = (-1)^2$ ✓

错误 7：级数求和特殊情形未处理

错误：对 $\sum_{r=0}^{n-1} e^{ir\theta}$ 直接用等比数列求和公式，未考虑 $e^{i\theta} = 1$ 的情况。

正解：

• 当 $\theta \neq 2m\pi$ 时：$\sum_{r=0}^{n-1} e^{ir\theta} = \frac{1 - e^{in\theta}}{1 - e^{i\theta}}$
• 当 $\theta = 2m\pi$ 时：$\sum_{r=0}^{n-1} e^{ir\theta} = n$（每一项均为 $1$），此时 $\sin(\theta/2) = 0$ 导致分母为 $0$

错误 8：$z^n + z^{-n}$ 的系数混淆

错误：在合并 $(z + z^{-1})^n$ 展开结果时，直接将 $z^k$ 的系数作为 $\cos k\theta$ 的系数。

正解：$z^k + z^{-k} = 2\cos k\theta$，所以 $z^k$ 的系数需要除以 $2$ 才是 $\cos k\theta$ 的系数。

例如 $(z + z^{-1})^4 = z^4 + 4z^2 + 6 + 4z^{-2} + z^{-4}$， 合并后 $= (z^4 + z^{-4}) + 4(z^2 + z^{-2}) + 6 = 2\cos4\theta + 8\cos2\theta + 6$

错误 9：用计算器时弧度/角度混淆

错误：在计算 $\arg(a+bi)$ 时将计算器设为角度模式。

正解：9231 Further Mathematics 中所有角度运算必须使用弧度制。计算器需设置为弧度（RAD）模式。

错误 10：$n$ 次根形式未化简

错误：求出 $z_k = 8^{1/6} e^{i\theta}$ 后未化简为 $2^{1/2} e^{i\theta}$。

正解：尽可能地化简，如 $8^{1/6} = (2^3)^{1/6} = 2^{1/2}$，并注意根式与指数的统一形式。