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Complex Numbers（复数）

考纲要求​

  1. 掌握复数的模-辐角形式 z=reiθ=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)
  2. 掌握 De Moivre 定理：(reiθ)n=rneinθ(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} 及其逆用
  3. 能求 zn=a+biz^n = a + bi 的全部 nn 个根，并以 reiθre^{i\theta} 形式作答
  4. 理解单位根 zn=1z^n = 1 的性质：根在单位圆上等距分布，和为 00，积为 (−1)n−1(-1)^{n-1}
  5. 能用复数方法推导三角恒等式：sin⁡nθ\sin n\theta、cos⁡nθ\cos n\theta 的高次幂展开
  6. 能用复数对三角函数级数求和：∑r=0n−1cos⁡(rθ)\sum_{r=0}^{n-1} \cos(r\theta)、∑r=0n−1sin⁡(rθ)\sum_{r=0}^{n-1} \sin(r\theta)
  7. 能将三角方程转化为复数方程求解

常见题型​

题型分值链接
复数方程求根（zn=a+biz^n = a+bi）4–6 分题型 1
根的和与幂的和3–4 分题型 2
De Moivre / 三角恒等式5–6 分题型 3
复数级数求和5–7 分题型 4
nn 次单位根1–4 分题型 5

核心公式​

模-辐角形式​

z=x+iy=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz = x + iy = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta} r=∣z∣=x2+y2,θ=arg⁡(z)=tan⁡−1(yx)r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)

De Moivre 定理​

(reiθ)n=rneinθ=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta

共轭与倒数​

z−1=1re−iθ,z−n=r−ne−inθz^{-1} = \frac{1}{r}e^{-i\theta}, \quad z^{-n} = r^{-n}e^{-in\theta} zn+z−n=2cos⁡nθ,zn−z−n=2isin⁡nθz^n + z^{-n} = 2\cos n\theta, \quad z^n - z^{-n} = 2i\sin n\theta

nn 次根公式​

zn=a+bi⇒z=r1/n ei(θ+2kπ)/n,  k=0,1,…,n−1z^n = a + bi \quad\Rightarrow\quad z = r^{1/n}\, e^{i(\theta + 2k\pi)/n},\; k = 0, 1, \dots, n-1

其中 r=∣a+bi∣r = |a+bi|，θ=arg⁡(a+bi)\theta = \arg(a+bi)

nn 次单位根​

zn=1⇒z=e2πik/n=cos⁡2kπn+isin⁡2kπn,  k=0,1,…,n−1z^n = 1 \quad\Rightarrow\quad z = e^{2\pi i k / n} = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n},\; k = 0, 1, \dots, n-1

单位根性质​

设 ω=e2πi/n\omega = e^{2\pi i / n}，则：

  • 1+ω+ω2+⋯+ωn−1=01 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = 0
  • ωn=1\omega^n = 1，ωk=ωn−k‾\omega^k = \overline{\omega^{n-k}}
  • 全部根为 {1,ω,ω2,…,ωn−1}\{1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}\}

等比数列求和（复数）​

1+z+z2+⋯+zn−1=1−zn1−z1 + z + z^2 + \cdots + z^{n-1} = \frac{1 - z^n}{1 - z}

当 z=eiθz = e^{i\theta} 时：

∑r=0n−1eirθ=1−einθ1−eiθ=ei(n−1)θ/2 sin⁡(nθ/2)sin⁡(θ/2)\sum_{r=0}^{n-1} e^{ir\theta} = \frac{1 - e^{in\theta}}{1 - e^{i\theta}} = e^{i(n-1)\theta/2}\,\frac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)}

三角恒等式（复数法）​

cos⁡nθ=zn+z−n2,sin⁡nθ=zn−z−n2i\cos n\theta = \frac{z^n + z^{-n}}{2}, \quad \sin n\theta = \frac{z^n - z^{-n}}{2i} cos⁡nθ=12n∑k=0n(nk)cos⁡((n−2k)θ)\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos((n-2k)\theta)

常见错误​

  • 求 zn=a+biz^n = a+bi 的根时忘记加 2kπ2k\pi（只得到一个根）
  • 辐角范围理解错误：主辐角 arg⁡(z)∈(−π,π]\arg(z) \in (-\pi, \pi]
  • De Moivre 定理中 (cos⁡θ+isin⁡θ)n≠cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta + i\sin\theta)^n \neq \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) 的逆用混淆
  • 级数求和时忘记端点（z=1z=1 的情况需单独讨论）
  • 单位根的和为零，但积为 (−1)n−1(-1)^{n-1} 而非 11
  • 三角恒等式证明中二项式展开时符号错误