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考纲总览

知识点列表​

1. Hyperbolic Functions​

编号核心内容
1.1双曲函数的定义（指数形式）
1.2双曲恒等式：cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1，1−tanh⁡2x=sech⁡2x1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x
1.3双曲函数的图像和渐近线
1.4反双曲函数：sinh⁡−1x\sinh^{-1} x，cosh⁡−1x\cosh^{-1} x，tanh⁡−1x\tanh^{-1} x
1.5双曲函数的微分
1.6双曲函数的积分
1.7弧长和旋转体表面积

2. Complex Numbers​

编号核心内容
2.1复数的模-辐角形式 z=reiθz = re^{i\theta}
2.2De Moivre 定理：(reiθ)n=rneinθ(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}
2.3复数的 nn 次根
2.4单位根及其性质
2.5用复数表达三角恒等式
2.6复数级数求和

3. Maclaurin Series​

编号核心内容
3.1Maclaurin 级数的定义 f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots
3.2从第一原理展开
3.3对数微分法求导
3.4复合函数的 Maclaurin 展开
3.5用级数近似积分

4. Matrices​

编号核心内容
4.1矩阵的代数运算
4.2行列式和逆矩阵
4.3特征方程和特征值
4.4特征向量
4.5Cayley-Hamilton 定理
4.6对角化 A=PDP−1A = PDP^{-1}

5. Systems of Linear Equations​

编号核心内容
5.1三元线性方程组的矩阵表示
5.2行列式判定唯一解/无解/无穷解
5.3一致性与非一致性
5.4几何解释（平面交线、三棱柱等）

6. First Order Differential Equations​

编号核心内容
6.1积分因子法：dy/dx+P(x)y=Q(x)dy/dx + P(x)y = Q(x)
6.2积分因子的求解：I=e∫PdxI = e^{\int P dx}
6.3初值条件的应用

7. Second Order Differential Equations​

编号核心内容
7.1常系数齐次方程：辅助方程
7.2通解形式（实根、复根、重根）
7.3特解（待定系数法）
7.4初值条件确定常数
7.5Euler-Cauchy 型方程（变量替换）

8. Implicit Differentiation​

编号核心内容
8.1隐式函数的一阶导数
8.2隐式函数的二阶导数
8.3特定点处的导数值

9. Parametric Equations​

编号核心内容
9.1参数方程的一阶导数 dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}
9.2参数方程的二阶导数
9.3参数曲线的弧长

10. Integration Techniques​

编号核心内容
10.1递推公式 / Reduction formula
10.2分部积分
10.3变量替换

11. Riemann Sums​

编号核心内容
11.1矩形法求积分上界
11.2矩形法求积分下界
11.3求和公式：∑r\sum r，∑r2\sum r^2，∑r3\sum r^3
11.4n→∞n \to \infty 取极限
11.5Stirling 型近似

考试形式​

项目内容
答题时间2 小时
总分75 分
题量8 道必答题
计算器允许使用（科学计算器）
公式表MF19 List of Formulae

前置知识要求​

  • A Level Mathematics (P1-P3) 全部内容
  • Paper 1 (Further Pure Mathematics 1) 内容：多项式、有理函数、级数、数学归纳法、矩阵基础、向量基础

Assessment Objectives​

AO内容大致占比
AO1数学知识和程序性技巧40-50%
AO2数学推理、证明和沟通25-30%
AO3问题解决和建模20-25%