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详细策略

前 5 分钟策略​

  1. 快速浏览所有 8 题，标记：
    • 每题考察的 topic
    • 各小问的分值
    • 是否包含"show that"（通常是送分）
    • 是否有复杂的代数和矩阵计算
  2. 制定答题顺序：
    • 先做熟悉的 topic
    • 先做分值/时间比高的题
    • 先做"show that"题

各 Topic 答题策略​

Hyperbolic Functions​

  • 恒等式证明：从指数形式出发
  • 弧长/表面积：代入公式，利用恒等式化简
  • 反双曲函数：记住对数形式

Complex Numbers​

  • 求根：先求模和辐角，再套公式
  • De Moivre：zn+z−n=2cos⁡nθz^n + z^{-n} = 2\cos n\theta 常用
  • 级数求和：等比数列求和 + De Moivre

Maclaurin Series​

  • 用对数微分法处理 axa^x 或 f(x)g(x)f(x)^{g(x)}
  • 逐项求导到所需阶数
  • 验证 f(0)f(0) 是否有定义

Matrices​

  • 3×\times3 行列式用 Sarrus 规则或展开
  • 特征向量：解 (A−λI)v=0(A - \lambda I)v = 0，行化简
  • 对角化：PP 的列是特征向量，DD 对角元是特征值

Systems of Linear Equations​

  • 计算系数矩阵的行列式
  • 行列式为 0 时无唯一解
  • 对增广矩阵行化简判断一致性

First Order ODE​

  • 分类：线性（积分因子）vs 可分离
  • 积分因子算出后不要忘记乘右边
  • 初值条件代入求常数

Second Order ODE​

  • 先求 CF，再求 PI
  • CF 形式取决于辅助方程的根
  • PI 用待定系数法，注意与 CF 重叠

Implicit Differentiation​

  • 一阶导：逐项微分，每项乘 dy/dxdy/dx
  • 二阶导：对一阶导结果再微分，代入原方程

Parametric Equations​

  • 一阶导：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
  • 二阶导：d2y/dx2=d/dt(dy/dx)/(dx/dt)d^2y/dx^2 = d/dt(dy/dx) / (dx/dt)
  • 弧长：L=∫(dx/dt)2+(dy/dt)2 dtL = \int \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}\,dt

Integration Techniques​

  • 递推公式：分部积分 nn 次
  • 代入法：注意换积分限

Riemann Sums​

  • 画图确定矩形高度
  • 求和公式记牢
  • 上下界要找对方向

最后 10 分钟检查清单​

  • 是否有未答的题
  • 检查符号错误
  • 检查积分常数是否已求
  • 检查矩阵乘法是否正确
  • 检查数值精度是否符合要求
  • 检查"show that"题是否逻辑闭环
  • 检查每题是否按要求留下了必要步骤