常见错误

1. 双曲函数（Hyperbolic Functions）

混淆双曲恒等式与三角恒等式

错误	正确
$\cosh^2 x + \sinh^2 x = 1$	$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
$\cosh^2 x + \sinh^2 x = \cosh 2x$	$\cosh^2 x + \sinh^2 x = \cosh 2x$ ✔（这个是对的）
$\sinh^{-1} x = \frac{1}{\sinh x}$	$\sinh^{-1} x$ 是反函数，不是倒数

弧长公式中的符号错误

弧长公式：$\displaystyle L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$

常见错误：平方根内写了 $-$

2. 复数（Complex Numbers）

复根的角度遗漏

解 $z^n = a + bi$ 时，忘记加 $2k\pi$ 导致只得到一个根。

致命错误

$z^n = r e^{i\theta}$ 的根是 $z = r^{1/n} e^{i(\theta + 2k\pi)/n}$，$k = 0, 1, \dots, n-1$

必须加 $2k\pi$！

De Moivre 定理使用错误

$(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$，不是 $r^n e^{i\theta^n}$

3. Maclaurin 级数

忘记除以阶乘

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

常见错误：$f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 + \cdots$（漏了 $n!$）

4. 矩阵（Matrices）

特征向量的求解错误

解 $(A - \lambda I)v = 0$ 时，行化简出错导致特征向量不对。

对角化顺序不匹配

$A = PDP^{-1}$ 中，$P$ 的列必须与 $D$ 的对角元顺序对应。

5. 一阶 ODE

积分因子忘记取指数

$e^{\int P\,dx}$ 中的积分结果必须取指数，不是 $e$ 的 $\int P\,dx$ 就直接是 IF。

忘记乘整个方程

乘以 IF 后，左边变成 $\frac{d}{dx}(y \cdot \text{IF})$，右边 IF 也要乘 $Q(x)$。

6. 二阶 ODE

辅助方程的根用错

$m = \alpha \pm i\beta$ 时，CF 是 $e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$

特解形式选择错误

$f(x)$ 类型	特解试设形式
$k$（常数）	$C$
$ax + b$	$Cx + D$
$ax^2 + bx + c$	$Cx^2 + Dx + E$
$ke^{px}$	$Ce^{px}$（若 $p$ 不是 CF 的根）
$k\cos\omega x$ 或 $k\sin\omega x$	$C\cos\omega x + D\sin\omega x$

7. Riemann 求和

矩形高度取端点错误

• 上界：取区间内最大值（右端点对于增函数，左端点对于减函数）
• 下界：取区间内最小值
• 画图确认！

求和公式记错

$$\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \text{不是 } \frac{n(n+1)(2n-1)}{6}$$

8. 隐式微分

忘记链式法则

对 $y$ 的函数求导时，必须乘以 $\frac{dy}{dx}$

如 $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}$，不是 $2y$

9. 参数方程

二阶导数公式用错

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \Big/ \frac{dx}{dt}$$

不是 $\displaystyle \frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$

最常见的错误

$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} \neq \frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$

10. 递推公式

分部积分的 $u$ 和 $dv$ 选错

通常令 $u$ 为幂函数或对数函数，$dv$ 为指数或三角/双曲函数。

忘记递推公式适用于所有 $n$

验证 $n=1$ 或 $n=0$ 的基础情形后再应用递推。